Даны целые числа a, b и c,  c ≠ b.  Известно, что квадратные трёхчлены  ax² + bx + c  и  (c – b)x² + (c – a)x + (a + b)  имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что  a + b + 2c  делится на 3.

   Решение

В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?

   Решение

Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел:

3² + 4² = 5²,

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²,

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65².

Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

   Решение

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

   Решение

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа  a² + 2cd + b²  и  c² + 2ab + d²  являются полными квадратами.

   Решение

В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

   Решение

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

   Решение

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

   Решение

Верно ли, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырёхугольника?

   Решение

В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – n×n, где  n > 3)?

   Решение

Даны два треугольника ABC и A'B'C', имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка P, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от P до сторон треугольника ABC равна сумме расстояний от P до сторон треугольника A'B'C'.

   Решение

Лист клетчатой бумаги размером 5×n заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?

   Решение

Натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что каждое не превышает своего номера  (a_k ≤ k)  и сумма всех чисел – чётное число.
Доказать, что одна из сумм  a₁ ± a₂ ± ... ± a_n  равна нулю.

   Решение

Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
  a) синий кубик только один;
  б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

   Решение

Темы:    [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
  a) синий кубик только один;
  б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

Решение 1

  a) Обозначим через B_m наибольший "выигрыш" Алёши для случая m коробочек. Очевидно,  B₁ = 2.
  Если  m > 1,  Алёша делает ставку на цвет первой коробочки. Заметим, что поставить x на красный цвет, это то же самое, что поставить –x на синий. Поэтому можно считать, что Алёша всегда ставит на синий цвет, а  x ∈ [–1, 1].
  Если в первой коробочке окажется синий кубик, капитал Алёши станет равным  1 + x,  а в конце игры он (ставя все свои деньги на заведомо известный цвет) может его довести до  (1 + x)2^m–1.  Если же в первой коробочке красный кубик, то выигрыш Алёши равен  (1 – x)B_m–1.  Итак,
B_m = max {f(x)| x ∈ [–1, 1]},  где  f(x) = min {(1 + x)2^m–1, (1 – x)B_m–1}.  Нарисовав график, видим, что  f(x) достигает максимума в той точке x₀, где
(1 + x₀)2^m–1 = (1 – x₀)B_m–1.  Таким образом,  B_m = (1 + x₀)2^m–1 = (1 – x₀)B_m–1.
  Положив    получим  (1 + x₀)P_m = 2,  (1 – x₀)P_m = 2P_m–1.  Сложив последние равенства, имеем  P_m = 1 + P_m–1.  Отсюда (поскольку  P₁ = 1)
P_m = m.

  б) Обозначим через    наибольший "выигрыш" Алёши для случая m коробочек и n синих шариков. Очевидно,  B_1,0 = B_1,1 = 2,  B_m,0 = 2^m,  то есть  P_1,0 = P_1,1 = P_m,0 = 1.
  Рассуждая аналогично а), приходим сначала к системе  B_m,n = (1 + x₀)B_m–1,n–1 = (1 – x₀)B_m–1,n,  а потом – к соотношению  P_m,n = P_m–1,n–1 + P_m–1,n.
  Это соотношение, очевидно, позволяет однозначно восстановить числа P_m,n по указанным выше начальным условиям. Но и им и соотношению, как известно, удовлетворяют биномиальные коэффициенты    Следовательно,  

Решение 2

  Предположим, что после каждого шага Алёша платит налог в размере половины имеющихся денег (в результате он получит в 2¹⁰⁰ раз меньше денег).
  При наличии перед очередным шагом суммы S и ставке d, у него после этого шага остаётся либо  ½ (S + d),  либо  ½ (S – d),  что в сумме снова дает S. Поэтому можно считать, что он просто раскладывает свои деньги на две кучки – на случай того или иного цвета кубика. Всего в процессе игры он разложит свой рубль на 2¹⁰⁰ кучек. Из них    кучек соответствуют n синим кубикам, и в них должно лежать денег поровну – по     (иначе в одном из вариантов выигрыш меньше), а в остальных – 0.
  Умножив на 2¹⁰⁰, получаем ответ.

Ответ

a)       б)     рублей.

Замечания

1. Баллы: 3 + 5.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №3, зад. М2095).

Источники и прецеденты использования