Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

   Решение

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

   Решение

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

   Решение

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

   Решение

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Малые шевеления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

Решение

  Лемма. Пусть ABC, ABC' – два таких треугольника, что  AC > AC',  BC > BC'.  Тогда  CK > C'K  для любой точки K отрезка AB.
  Доказательство. Из условия следует, что точки A, B, C' лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра к отрезку CC'. Значит, и точка K лежит по ту же сторону, что равносильно искомому неравенству.

  Докажем индукцией по n, что ответ на вопрос задачи отрицательный .
  База  (n = 4).  Пусть такие многоугольники нашлись. Можно считать, что   .   Применив гомотетию (с коэффициентом    )   ко второму четырёхугольнику, можно считать, что  B₁B₃ = A₁A₃,  B₂B₄ ≥ A₂A₄.  Теперь, передвинув второй четырёхугольник, можно также считать, что
B₁ = A₁,  B₃ = A₃;  при этом  A₁A₂ > A₁B₂,  A₂A₃ > B₂A₃,  A₃A₄ > A₃B₄,  A₄A₁ > B₄A₁.  Пусть E – точка пересечения диагоналей A₁A₃ и A₂A₄; тогда по лемме  A₂E > B₂E,  A₄E > B₄E  и, следовательно,  A₂A₄ = A₂E + A₄E > B₂E + B₄E > B₂B₄.  Противоречие.

  Шаг индукции. Пусть  n ≥ 5.  Немного подвигав вершины второго многоугольника, можно добиться того, что все неравенства из задачи сохранятся, но при этом все отношения длин соответствующих диагоналей станут различными. Пусть     – максимальное такое отношение. Тогда, применив соответствующую гомотетию (с коэффициентом, меньшим 1) ко второму многоугольнику, мы получим, что  A₁A_i > B₁B_i,  но любая другая диагональ первого многоугольника меньше соответствующей диагонали второго. Теперь осталось применить предположение индукции к многоугольникам A₁A₂...A_i и B₁B₂...B_i  (если  i > 3)  или A_iA_i+1...A_n и B_iB_i+1...B_n  (если  i < n – 1).

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования