Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.
Пусть A1, B1 и C1 — основания высот AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, BA1C1 и CA1B1 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.
Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение P(x) = a. Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?
У Аладдина есть несколько одинаковых слитков золота, и иногда он просит джинна увеличить их количество. Джинн добавляет тысячу таких же слитков, но после этого берёт за услугу ровно половину от получившейся общей массы золота. Мог ли Аладдин оказаться в выигрыше после десяти таких просьб, если ни один слиток не пришлось распиливать?
Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Докажите, что при любом нечётном n число 2n! – 1 делится на n.
Дан треугольник ABC и прямая l. Прямые, симметричные l относительно AB и AC пересекаются в точке A1. Точки B1, C1 определяются аналогично. Докажите, что
а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC ;
в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.
|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC и прямая l. Прямые, симметричные l относительно AB и AC пересекаются в точке A1. Точки B1, C1 определяются аналогично. Докажите, что
а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника ABC ;
в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.
Решение
Заметим, что, когда прямая l движется параллельно себе с постоянной скоростью, прямые, симметричные l относительно AC и BC, также перемещаются параллельно себе с постоянной скоростью. Поэтому точка C1 движется по прямой, проходящей через C, то есть точка пересечения CC1 с описанной окружностью зависит только от направления прямой l. Пусть теперь A', B' – точки пересечения l с BC и AC (см. рис.). Тогда B'C – биссектриса одного из углов между прямыми B'C1 и B'A', а A'C – биссектриса одного из углов между прямыми A'C1 и A'B'. Значит, C – центр вписанной или вневписанной окружности треугольника A'B'C1, то есть C1C – биссектриса угла A'C1B' или смежного с ним. Но угол между прямыми A'C1 и B'C1 не зависит от l, значит, не зависит от l и угол между CC1 и C1A'. Поэтому при вращении l с постоянной скоростью прямые AA1, BB1, CC1 вращаются с той же скоростью, откуда следуют все три утверждения задачи.
