Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.
а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то S2 = abcd sin2((B + D)/2).
Продолжения сторон AD и BC выпуклого
четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M
и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины
диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)
SPMQN = | SABD - SACD|/2;
б)
SOPQ = SABCD/4.
Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.
Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13). Докажите, что ax1x2...x13 = 0.
|
|
 |
Условие
Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13). Докажите, что ax1x2...x13 = 0.
Решение
Если какое-то из чисел xi равно 0, утверждение очевидно. Если одно из xi равно ±1, то a = 0, и утверждение также верно. В противном случае каждое произведение отрицательно. Поэтому a² = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13)(1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13) – отрицательное число (как произведение 13 отрицательных чисел). Противоречие.
Замечания
Из условия не следует, что a = 0 (даже в случае, если не все xi – нули). Более того, неверно, что при a ≠ 0 все ненулевые xi разбиваются на пары противоположных. Например, (1 – 3)(1 + 7)(1 + 8)(1 + 11)·1·1·1·1·1·1·1 = (1 + 3)(1 – 7)(1 – 9)(1 – 11)·1·1·1·1·1·1·1 = –1920.
