Условие
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B1 и C1 соответственно, так, что HA – биссектриса угла B1HC1 и четырёхугольник BC1B1C – вписанный. Докажите, что B1 и C1 – основания высот треугольника ABC.
Решение 1
Воспользуемся тем, что высоты треугольника содержат биссектрисы углов его ортотреугольника (см. задачу 52866). Заметим также, что если одна из точек B1 или C1 является основанием высоты, то и другая тоже. Пусть B1 и C1 – не основания высот.
Первый способ. Восстановим из этих точек перпендикуляры до пересечения с прямыми AC и AB в точках B' и C' соответственно (рис. слева). Тогда C'B1 и B'C1 – высоты треугольника AB'C', следовательно, B1C1 и B'C' антипараллельны. Значит, BC || B'C', то есть AH' – высота треугольника AB'C' (H' – точка пересечения AH и B'C'). Поэтому ∠C1H'A = ∠B1H'A. По условию ∠C1HA = ∠B1HA, следовательно, треугольники C1HH' и B1HH' равны, откуда HB1 = HC1. Тогда HA ⊥ B1C1, следовательно, B1C1 || BC, то есть треугольник ABC – равнобедренный. Противоречие.
Второй способ. Проведём высоты BHb и CHc (рис. справа), а также перпендикуляры AK, AL, HcN и HbM к прямым HC1 и HB1. Поскольку
B1C1 || HbHc, то HcN : AL = HcC1 : AC1 = HbM : AK. Поскольку HA – биссектриса угла C1HB1, то AK = AL, поэтому HcN = HbM. Так как HA также биссектриса угла HcHHb, то ∠HcHN = ∠HbHM, следовательно,
треугольники HHcN и HHbM равны. Таким образом, ортотреугольник треугольника ABC – равнобедренный, поэтому ABC – тоже равнобедренный. Противоречие.
Решение 2
Пусть O – центр описанной окружности треугольника AB1C1 (см. рис.). Четырёхугольник BC1B1B – вписанный, следовательно, B1C1 и BC антипараллельны. Значит, треугольник AB1C1 гомотетичен треугольнику с вершинами в точке A и основаниях высот, опущенных из вершин B и C. Поэтому из задачи 52358 следует, что точка O лежит на высоте AH. Кроме того, O принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку B1C1.
∠BB1A = 90°.
