Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

а) Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5.
б) Останется ли это утверждение верным, если вместо разности взять сумму?

   Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a (0;);
в) x_{n + 1} = ,    a > 0, x₀ = 0.

   Решение

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

+ + 3.

   Решение

Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)²⁰¹⁴  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

   Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

   Решение

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

   Решение

Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.

   Решение

На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.

   Решение

Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.

Решение

  Пусть ξ_i – случайная величина, равная 1, если грань с i очками выпала хотя бы раз и 0, если ни разу. Тогда число различных выпавших граней равно
ξ = ξ₁ + ... + ξ₆.  Переходя к ожиданиям получим:  Eξ = 6Eξ₁,  поскольку все величины ξ_i распределены одинаково. Математическое ожидание Eξ₁, очевидно, равно  P(ξ₁ = 1) = 1 – (⅚)⁶.
  Значит,  

Ответ

Источники и прецеденты использования