В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = AC)  угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что  AD = ^AB/_n.  Найдите сумму  n – 1  углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей:
  а) при  n = 3;
  б) при произвольном n.

   Решение

Известно, что  5(а – 1) = b + a².  Сравните числа а и b.

   Решение

Даны натуральное число  n > 3  и положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство  

   Решение

Найдите наименьшее значение функции y = (x-21)e^x-20 на отрезке [19;21] .

   Решение

Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается (в десятичной записи) на 2016 и делится на 2017.

   Решение

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

   Решение

Найдите наибольшее значение функции y = 16x-4 sin x+8 на отрезке [-;0] .

   Решение

Найдите все такие простые числа p и q , что  p + q = (p – q)³.

   Решение

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

   Решение

Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .

   Решение

Назовём раскраску доски 8×8 в три цвета хорошей, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трёх цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата 3×3 вырезанием квадрата 2×2.)  Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше чем 6⁸.

   Решение

Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?

   Решение

Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.

Решение

  По формуле суммы арифметической прогрессии  k + (k + 1) + ... + (k + n – 1) = ½ n(2k + n – 1).  При нечётном  n > 2  правая часть делится на n, а при чётном – на  2k + n – 1,  причём в обоих случаях частное больше 1.
  При  n = 1  и  n = 2  это возможно (например,  3 + 4 = 7).

Ответ

n = 1, 2.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования