Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Найдите все степени чисел 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, лежащие в промежутке от 1 до 10000 и выстройте их по порядку. Найдите среди них пары чисел, разность между которыми не превосходит 10.
На предприятии трудятся 50000 человек. Для каждого из них сумма количества его непосредственных начальников и его непосредственных подчинённых равна 7. В понедельник каждый работник предприятия издаёт приказ и выдаёт копию этого приказа каждому своему непосредственному подчинённому (если такие есть). Далее, каждый день работник берёт все полученные им в предыдущий день приказы и либо раздаёт их копии всем своим непосредственным подчинённым, либо, если таковых у него нет, выполняет приказы сам. Оказалось, что в пятницу никакие бумаги по учреждению не передаются. Докажите, что на предприятии не менее 97 начальников, над которыми нет начальников.
Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.
На доске $6\times6$ расставили шесть не угрожающих друг другу ладей. Затем каждое не занятое ладьёй поле покрасили по такому правилу: если ладьи, угрожающие этому полю, находятся от него на одинаковом расстоянии, то это поле закрашивают в красный цвет, а если на разном – то в синий цвет. Могли ли все не занятые поля оказаться
а) красными;
б) синими?
Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nn не является делителем числа 2008!.
Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами
–1 – i, 2 – i, 2 + 2i, –1 + 2i. Как при этом ведут себя точки
a) z2; б) z3; в) z–1?
На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?
Людоедом называется фантастическая шахматная фигура, которая может ходить как шахматный король – на соседнюю клетку по вертикали или горизонтали, но не может ходить по диагонали. Два людоеда стоят на противоположных угловых полях шахматной доски и начинают ходить по очереди. Людоеду, вставшему на клетку, где уже стоит другой людоед, разрешается им пообедать. Кто кого съест при правильной игре и как ему надо для этого играть?
|
|
 |
Условие
Людоедом называется фантастическая шахматная фигура, которая может ходить как шахматный король – на соседнюю клетку по вертикали или горизонтали, но не может ходить по диагонали. Два людоеда стоят на противоположных угловых полях шахматной доски и начинают ходить по очереди. Людоеду, вставшему на клетку, где уже стоит другой людоед, разрешается им пообедать. Кто кого съест при правильной игре и как ему надо для этого играть?
Решение
Разобьём клетки доски на диагонали, параллельные той, где изначально расположены людоеды. Всего таких диагоналей 15. Заметим, что каждым ходом людоед перемещается на соседнюю диагональ.
Укажем стратегию, позволяющую второму людоеду пообедать. Пусть для определенности он начинает игру из правого верхнего угла. Тогда он должен всегда ходить влево или вниз, и при этом вставать на ту же диагональ, на которую перед этим встал первый людоед. При этом после любого парного хода людоеды окажутся в противоположных углах некоторого квадрата. Размеры этого квадрата будут либо уменьшаться (если первый людоед будет ходить вправо или вверх), либо не будут изменяться. Но первый людоед не сможет постоянно ходить влево или вниз – сделав несколько таких ходов, он обязательно попадёт в положение, когда ему придется ходить вверх или вправо. Таким образом, размеры квадрата в ходе игры будут уменьшаться. Когда они уменьшатся до 2×2, первый людоед будет вынужден, чтобы его не съели, ходить влево или вниз, но эти ходы вскоре закончатся, и он проиграет.
Ответ
Второй людоед съест первого.
Замечания
Посмотрим на расстояние между двумя людоедами – количество ходов, которые необходимо сделать, чтобы дойти от одного людоеда до другого. Изначально это расстояние равно 13. После каждого хода любого людоеда это расстояние либо увеличивается на 1, либо уменьшается на 1, то есть меняет чётность. Заметим, что людоед может пообедать данным ходом, если к этому моменту расстояние между людоедами стало равно 0. Так как перед любым ходом первого людоеда расстояние между людоедами нечётно, то первый людоед никогда не сможет пообедать вторым, даже если бы второй пытался поддаться.
