Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Клетки бумажного квадрата $8 \times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2 \times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)
Биссектриса угла C и внешнего угла A трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке M, а биссектриса угла B и внешнего угла D – в точке N. Докажите, что середина отрезка MN равноудалена от прямых AB и CD.
В треугольнике $ABC$ ($a>b>c$) указаны инцентр $I$, а также точки $K$ и $N$ касания вписанной окружности со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины $a-c$.
Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ при продолжении пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $W$. Окружность $s$, построенная на отрезке $AH$ как на диаметре ($H$ – ортоцентр в треугольнике $ABC$), пересекает $\omega$ в точке $P$. Восстановите треугольник $ABC$, если остались точки $A$, $P$, $W$.
В треугольнике ABC AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр ED на BC. Оказалось, что AE = ED. Найдите угол DAC.
Около прямоугольника $ABCD$ описана окружность. На меньшей дуге $BC$ окружности взята произвольная точка $E$. К окружности проведена касательная в точке $B$, пересекающая прямую $CE$ в точке $G$. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямые $GK$ и $AD$ перпендикулярны.
Постройте треугольник $ABC$ по вершине $A$, центру описанной окружности $O$ и прямой Эйлера, если известно, что прямая Эйлера отсекает на сторонах $AB$ и $AC$ равные отрезки от вершины $A$.
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 80, в котором можно так переставить две его различные цифры, что получившееся число также будет кратно 80.
Решение
Заметим, что и до, и после перестановки цифр число делится на 10 и поэтому должно оканчиваться на 0. Покажем, что нет трёхзначных чисел, обладающих описанным в условии свойством. Действительно, если 100a + 10b = 80k и 100b + 10a = 80l, a < b, то цифры a и b чётны, причём
90(b – a) = 80(l – k), поэтому b – a делится на 8. Это возможно только при b = 8, a = 0, но 0 не может быть первой цифрой числа.
Попробуем найти требуемое число среди четырёхзначных чисел, начинающихся с 1, то есть чисел вида 1000 + 100a + 10b, a < b. Если поменять местами цифры 1 и b, то полученное число не будет делиться на 80. Если переставить цифры a и b, то аналогично рассуждению для трёхзначных чисел получаем единственный вариант b = 8, a = 0, но число 1080 не кратно 80. Значит, может подойти только число, в котором переставлены цифры 1 и a, где a > 1. В этом случае 900(a – 1) = 80m, 45(a – 1) = 4m. Значит, a – 1 делится на 4, откуда a = 5 или 9. Уже при a = 5 и b = 2 получаем число 1520 = 19·80, удовлетворяющее условию: 5120 = 64·80.
Ответ
1520.
