Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

   Решение

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

   Решение

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC  AA', BB' и CC' – высоты. Точки C_a, C_b симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки A_b, A_c, B_c, B_a. Докажите, что прямые A_bB_a, B_cC_b и C_aA_c параллельны.

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC  AA', BB' и CC' – высоты. Точки C_a, C_b симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки A_b, A_c, B_c, B_a. Докажите, что прямые A_bB_a, B_cC_b и C_aA_c параллельны.

Решение

  Как известно, прямые A'A, B'B, C'C являются биссектрисами треугольника A'B'C' (см. задачу 52866). Поэтому, например, точки A_b, B_a лежат на прямых B'C', A'C' соответственно и  B'A_b = A'B_a = A'B'.

  Первый способ. Лемма. На сторонах XZ, YZ треугольника XYZ взяли такие точки Y', X', что  XY' = XY = X'Y.  Тогда  X'Y' ⊥ OI,  где O, I – центры описанной и вписанной окружностей треугольника.
  Доказательство. Достаточно убедиться, что  X'O² – Y'O² = X'I² – Y'I²  (см. задачу 57134)). Пусть x, y, z – длины сторон YZ, ZX, XY;  K – середина YZ. Тогда  X'O² – YO² = X'K² – Y'K² = (z – ^x/₂)² – (^x/₂)² = z(z – x).  Аналогично  Y'O² – XO² = z(z – y).  Кроме того,  X'I² = r² + (z – (p – y))² = r² + (p – x)²,
Y'I² = r² + (p – y)².  Следовательно,  X'O² – Y'O² = X'I² – Y'I² = z(y – x).
  По лемме прямая A_bB_a перпендикулярна прямой, соединяющей центры описанной и вписанной окружностей треугольника A'B'C'. Прямые BcCb и AcCa также перпендикулярны этой прямой, следовательно все три прямые параллельны.

  Второй способ. Поскольку  A'B_a = A'B'  и  A'C_a = A'C',  то  B'B_a || C'C_a,  значит,  B'B_a : C'C_a = A'B' : A'C' = B'A_b : C'A_c.  Следовательно, треугольники B'A_bB_a и A_cC_aC' подобны,  ∠B_aA_bB' = ∠C_aA_cC'  и  A_bB_a || A_cC_a.  Аналогично доказывается, что B_aC_b также параллельна этим прямым.

Источники и прецеденты использования