Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую площадь может иметь этот треугольник?

   Решение

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида Т – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

   Решение

Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  a – b  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа  a + kb  может также оказаться равной 15?

   Решение

Заменим в произведении 100· 101·102·...·200 все числа на 150. Увеличится или уменьшится произведение? Тот же вопрос для суммы.

   Решение

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8.

   Решение

Периметры треугольников ABM, BCM и ACM, где M — точка пересечения медиан треугольника ABC, равны. Докажите, что треугольник ABC правильный.

   Решение

Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

   Решение

Точки A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из A₁ провёден луч l₁ в направлении A₂, из A₂ – луч l₂ в направлении A₃, ..., из A₆ – луч l₆ в направлении A₁. Из точки B₁, взятой на луче l₁, опускается перпендикуляр на луч l₆, из основания этого перпендикуляра опускается перпендикуляр на l₅ и т. д. Основание шестого перпендикуляра совпало с B₁. Найти отрезок B₁A₁.

   Решение

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (a_i, b_i, c_i),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  a_i + b_i + c_i  есть хотя бы три различных.

   Решение

Три окружности попарно касаются внешним образом в точках A, B и C. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC перпендикулярна всем трем окружностям.

   Решение

В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что при гомотетии с центром C и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

   Решение

На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂ и CAA₁C₂. На отрезках A₁A₂ и B₁B₂ также во внешнюю сторону от треугольников AA₁A₂ и BB₁B₂ построены квадраты A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Докажите, что  A₃B₄ || AB.

   Решение

На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Необычные построения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.

Решение

Пусть A, B, C – данные точки, AB – наименьшая сторона треугольника ABC, D – вершина равностороннего треугольника ABD, l – серединный перпендикуляр к отрезку CD. Так как  AD = AB ≤ AC  и  BD = AB ≤ BC,  точки A, B лежат по ту же сторону от l, что и точка D. Поэтому, если перегнуть лист по прямой l, то точки A и B останутся на месте, а точка C совместится с D.

Источники и прецеденты использования