Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую
вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, соединяющую
середины оснований, равны.
Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке O, и
произвольная точка P. Прямая l, проходящая через точку P,
пересекает прямые a и b в точках A и B. Докажите, что
величина
(AO/OB)/(PA/PB) не зависит от выбора прямой l.
Дано n попарно не сонаправленных векторов (n3), сумма
которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый n-угольник,
набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.
Даны точка A и окружность S. Проведите через
точку A прямую так, чтобы хорда, высекаемая окружностью S
на этой прямой, имела данную длину d.
Три прямые, параллельные сторонам данного треугольника, отсекают от него три треугольника, причём остается равносторонний шестиугольник.
Найдите длину стороны шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
Даны две одинаковые окружности. На каждой из
них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых
меньше
. 180o, причем окружности
можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали
с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности
можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались
на неотмеченных местах.
Велосипедист проехал из пункта А в пункт В, где пробыл 30 минут, и вернулся в А. По пути в В он обогнал пешехода, а через 2 часа встретился с ним на обратном пути. Пешеход прибыл в В одновременно с тем, когда велосипедист вернулся в А. Сколько времени потребовалось пешеходу на путь из А в В, если его скорость в четыре раза меньше скорости велосипедиста?
|
|
 |
Условие
Велосипедист проехал из пункта А в пункт В, где пробыл 30 минут, и вернулся в А. По пути в В он обогнал пешехода, а через 2 часа встретился с ним на обратном пути. Пешеход прибыл в В одновременно с тем, когда велосипедист вернулся в А. Сколько времени потребовалось пешеходу на путь из А в В, если его скорость в четыре раза меньше скорости велосипедиста?
Решение
Первый способ. Расстояние, которое пешеход проходит за 2 часа, примем за единицу. Тогда велосипедист проезжает это же расстояние за 30 минут. С момента первой встречи пешеход прошел одну единицу, а велосипедист проехал три единицы (полчаса он отдыхал в пункте B). Значит, расстояние от точки их второй встречи до пункта B равно одной единице. Тогда после второй встречи пешеход пройдет еще одну единицу, а велосипедист за это время проедет 4 единицы. Поэтому расстояние между A и B равно 5 единицам, следовательно, пешеходу на путь из А в В потребовалось 10 часов.
Второй способ. Пусть v км/ч – скорость пешехода, тогда скорость велосипедиста – 4v км/ч. Пусть также первая встреча велосипедиста и пешехода произошла на расстоянии x км от пункта B. Тогда за 2 часа, которые прошли до второй встречи, пешеход прошел 2v км и оказался на расстоянии x – 2v км от пункта B, а велосипедист проехал расстояние 1,5ċ4v = 6v (км) и оказался на расстоянии 6v – x км от пункта B.
Следовательно, x – 2v = 6v – x, откуда x = 4v. Значит, точка первой встречи находится от пункта В на расстоянии, которое велосипедист проезжает за час, а точка второй встречи – на расстоянии, которое велосипедист проезжает за полчаса. Так как через 2 часа после второй встречи пешеход окажется в пункте B, а велосипедист в пункте А, то велосипедисту на путь из B в A понадобилось 2,5 часа. Следовательно, пешеходу на путь из А в В понадобится в 4 раза больше, то есть 10 часов.
Ответ
10 часов.
