Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?
Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш.
Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа.
В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.
В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?
|
|
 |
Условие
В турнире по гандболу участвуют 20 команд.
После того как каждая
команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у
всех команд разное.
После того как каждая команда сыграла с каждой по
второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым.
В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за
поражение — 0 очков.
Верно ли, что найдутся две команды, по разу
выигравшие друг у друга?
Решение
Заметим, что в каждом матче разыгрывается 2 очка, за один круг проводится $20 \cdot 19 / 2 = 190$ матчей. Тогда за один круг будет разыграно 380 очков, а после окончания турнира каждая команда наберёт по 38 очков. Далее предположим, что требуемой пары команд не найдётся.
Назовём команду с наибольшим числом очков после первого круга лидером. На первом круге лидер набрал не менее 29 очков, так как в противном случае всеми командами набрано не более $28 + 27 + \ldots + 9 = 370$ очков, что меньше, чем общее число очков, разыгранное во всех матчах первого круга.
Следовательно, на первом круге лидер выиграл не менее 10 матчей. Тогда на втором круге он в матчах с этими командами также выиграет или сыграет вничью (в противном случае найдётся требуемая пара команд), а следовательно, в матчах второго круга он наберёт не менее 10 очков. Общая сумма очков лидера за два круга составит не менее 39 очков. Противоречие.
Комментарии.
1. В последней части решения фактически доказано, что в первом круге лидер набрал не более 28 очков. Рассуждая аналогично, можно доказать, что команда с наименьшим числом очков после первого круга набрала в нём не менее 10 очков. Тогда по принципу Дирихле найдутся две команды с одинаковым числом очков. Противоречие.
2. В случае нечетного числа команд утверждение задачи неверно. Опишем пример для $2n+1$ команд. Занумеруем их от 1 до $2n+1$. Пусть в первом круге
во встречах команд, разность номеров которых больше $n$, побеждает
команда с меньшим номером, а остальные игры заканчиваются вничью. Во
втором круге наоборот, если разность номеров больше $n$, игра
заканчивается вничью, а в остальных встречах побеждает команда с
большим номером. Тогда команда с номером $i$ в первом круге набирает
$3n+1-i$ очков, а во втором $n-1+i$.
Ответ
Да, верно.
