Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC.

   Решение

Даны две окружности радиусов R и r, одина вне другой. К ним проведены две общие внешние касательные. Найдите их длину (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол. (R > r).

   Решение

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

   Решение

Имеется n случайных векторов вида  (y₁, y₂, y₃),  где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор a с координатами  (Y₁, Y₂, Y₃).
  а) Найдите математическое ожидание случайной величины a².
  б) Докажите, что  

   Решение

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

   Решение

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Теорема Паскаля ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

Решение

Пусть прямые $AC$ и $BF$ пересекаются в точке $H$, а прямые $BD$ и $AF$ – в точке $G$.

Прямая $AB$ касается описанной вокруг $CAE$ окружности, значит, $(CA, CE) = (AB, AE)$. Четырехугольник $ABEF$ вписанный, следовательно,$(AB, AE) = (FB, FE)$. Получаем, что $$(CH, CE) = (CA, CE) = (AB, AE) = (FB, FE) = (FH, FE)$$ $$(CH, CE) = (FH, FE)$$ Значит, четырехугольник $CHFE$ вписанный. Аналогичными рассуждениями получаем, что четырехугольник $DGFE$ вписанный. По условию, $CFED$ – вписанный. Значит, точки $C$, $D$, $E$, $F$, $H$, $G$ лежат на одной окружности (см. рис.).

Рассмотрим вписанный шестиугольник $FFHCDG$ и применим к нему теорему Паскаля. Получаем, что точки пересечения пар прямых $FF$ и $CD$, $FH$ и $DG$, $HC$ и $GF$ коллинеарны (в данном случае прямая $FF$ – это касательная в точке $F$ к окружности $CFD$, обозначим эту прямую $l$). То есть точки $A$, $B$ и точка пересечения $l$ и $CD$ лежат на одной прямой. Но $AB\parallel CD$, значит, $l\parallel CD$, а отсюда следует, что $F$ – середина дуги $CD$.

Источники и прецеденты использования