Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Найдите (xn – 1, xm – 1).
Есть 20 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 20 написаны по два раза.
Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны.
Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и
P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).
Докажите, что x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx при любых x, y, z.
Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
|
|
 |
Условие
Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
Решение 1
$\underbrace{7\ldots 7}_{n} = \dfrac{10^n-1}{9}\cdot 7 = \dfrac{7\cdot 10^n -7}{9}.$ Число 10 можно записать как (77 - 7):7, а 9 – как 7 + (7 + 7):7. В качестве $n$ можно взять 77 или 14 = 7 + 7.
Замечание. В этом решении использовано 12 семёрок. Заменив $(77 - 7):7$ на $7 + (7 + 7 + 7):7$ можно обойтись без использования двузначных чисел.
Решение 2
(Будун Будунов) $\underbrace{7\ldots 7}_{14}\cdot\left(\left(\dfrac{77-7}{7}\right)^{7+7}+\dfrac{7}{7}\right) = \underbrace{7\ldots 7}_{28}.$
Ответ
Существует.
Замечания
8 баллов.
