Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.
Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x4 + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x4 – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.
Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C,
D при инверсии. Докажите, что:
а)
:
=
:
;
б)
(DA, AC) -
(DB, BC) =
(D*B*, B*C*) -
(D*A*, A*C*).
Докажите, что многочлен P(x) = (xn+1 – 1)(xn+2 – 1)...(xn+m – 1) делится на Q(x) = (x – 1)(x2 – 1)...(xm – 1).
В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором – другие m пар.
Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.
Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c,
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число
, называемое простым отношением трех комплексных чисел,
вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d,
лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда
число
:
, называемое двойным отношением
четырех комплексных чисел, вещественно.
В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?
|
|
 |
Условие
В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?
Решение
Лемма. Сумма любых сорока подряд записанных чисел не меньше 80.
Доказательство. Пусть числа $a_{1}, ..., a_{40}$ записаны подряд.
Cреди чисел $b_{0}=0, b_{1}=a_{1}, b_{2} = a_{1} + a_{2}, ..., b_{40} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{40}$ найдутся два – $b_i$ и $b_j$ ($i < j$) – с одинаковым остатком при делении на 40. Тогда сумма $a_{i+1} + a_{i+2} + ... + a_j$ кратна 40, а значит, не меньше 80.
Оценка. Пусть выписано $n$ > 1019 чисел. По лемме, сумма первых 1000 = 25·40 из них не меньше 25·80 = 2000. Сумма оставшихся чисел (их по крайней мере 20) не меньше 20. Значит, вся сумма не меньше 2020. Противоречие.
Пример. 25 групп 1, ..., 1, 41 (в каждой группе 39 единиц и число 41) и затем 19 единиц.
Ответ
1019 чисел.
Замечания
5 баллов
