Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что число  x = (m₂...m_n)^φ(m₁)  является решением системы
    x ≡ 1 (mod m₁),
    x ≡ 0 (mod m₂),
        ...
    x ≡ 0 (mod m_n).

   Решение

---

Площадь основания пирамиды равна s . Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь полученного сечения.

   Решение

---

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

   Решение

---

Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.

   Решение

---

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

   Решение

---

В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а cosBAM = .

   Решение

---

Ребро BD пирамиды ABCD перпендикулярно плоскости ADC . Докажите, что сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середины рёбер AB и BC , является треугольник, подобный треугольнику ABC . Чему равен коэффициент подобия?

   Решение

---

Вавилонский алгоритм вычисления . Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

Докажите, что x_n = .

   Решение

---

Дана замкнутая ломаная $A_1A_2\dots A_n$ и окружность $\omega$, которая касается каждой из прямых $A_1A_2, A_2A_3,\dots, A_nA_1$. Звено ломаной называется хорошим, если оно касается окружности, и плохим в противном случае (т.е. если продолжение этого звена касается окружности). Докажите, что плохих звеньев четное количество.

   Решение

Темы:    [ Ломаные ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дана замкнутая ломаная $A_1A_2\dots A_n$ и окружность $\omega$, которая касается каждой из прямых $A_1A_2, A_2A_3,\dots, A_nA_1$. Звено ломаной называется хорошим, если оно касается окружности, и плохим в противном случае (т.е. если продолжение этого звена касается окружности). Докажите, что плохих звеньев четное количество.

Решение

Пусть $O$ – центр окружности, а $T_i$ – точка ее касания с прямой $A_iA_{i + 1}$ (считаем, что $A_{n +1}$ совпадает с $A_1$.) Назовем треугольник $ABC$ положительно ориентированным, если вершины $A$, $B$, $C$ идут против часовой стрелки, и отрицательно ориентированным в противном случае.

Заметим, что треугольники $OA_iT_i$ и $OA_{i + 1}T_i$ ориентированы одинаково тогда и только тогда, когда звено $A_iA_{i + 1}$ плохое. С другой стороны, треугольники $OA_{i + 1}T_i$ и $OA_{i + 1}T_{i + 1}$ всегда ориентированы по-разному. Следовательно, звено $A_iA_{i + 1}$ плохое тогда и только тогда, когда треугольники $OA_iT_i$ и $OA_{i + 1}T_{i + 1}$ ориентированы по-разному. Значит, число плохих звеньев равно числу перемен ориентации в последовательности треугольников $OA_1T_1, OA_2T_2, \ldots, OA_nT_n$, которое, очевидно, четно.

Источники и прецеденты использования