Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.

Вниз   Решение


Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1.

ВверхВниз   Решение


Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

ВверхВниз   Решение


Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

ВверхВниз   Решение


Автор: Mahdi Etesami Fard

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

ВверхВниз   Решение


Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.

Вверх   Решение

Задача 66930
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.

Решение 1

Серединный перпендикуляр к $BB_1$ и биссектриса угла $A$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABB_1$, следовательно, $\angle IBA_0=\angle IAB$. Аналогично $\angle IBC_0=\angle ICB$. Тогда $\angle A_0BC_0=\angle A_1IC$, т.е. точки $I$, $A_0$, $C_0$, $B$ лежат на одной окружности. Касательная к этой окружности в точке $B$ образует с прямой $BB_1$ угол, равный $\angle BC_0A_0+\angle A_0BI=\angle IAC+\angle AIB_1=\angle BB_1C$. Такой же угол образует $BB_1$ с касательной к окружности $ABC$. Значит, обе окружности касаются в точке $B$.


Решение 2

Пусть $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ повторно пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Обозначим через $M$ и $N$ середины отрезков $BB_1$ и $BI$ соответственно. Заметим, что по теореме о трезубце $A'C'$ – серединный перпендикуляр к отрезку $BI$.

Для решения задачи достаточно доказать подобие четырехугольников $A_0IC_0B$ и $A'BC'B'$. Действительно, так как четырехугольник $A'BC'B'$ вписанный, окружность $A_0IC_0$ проходит через $B$. Также из параллельности прямых $A_0C_0$ и $A'C'$ получаем, что окружности $A_0IC_0$ и $A'IC'$ касаются в точке $I$. Симметрия относительно $A'C'$ сохраняет первую окружность, проходящую через $B$ и $I$, а вторую переводит в описанную около треугольника $ABC$. Следовательно, окружности $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются в точке $B$.

Чтобы доказать подобие, заметим, что треугольники $A_0IC_0$ и $A'BC'$ подобны, а отрезки $IM$ и $BN$ являются их соответственными высотами. Поэтому достаточно доказать равенство $BM:BI=B'N:B'B$ или $BB_1:BI=(B'I+B'B):B'B$. Вычитая из обеих частей по единице, получаем $IB_1:BI=B'I:B'B$. Но $IB_1:BI=AB_1:AB=B'C:B'B=B'I:B'B$, ч.т.д.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2020
Заочный тур
задача
Номер 18 [10-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .