Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) k = 7; б) k = 10.
Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)
С помощью циркуля и линейки опишите около данной окружности ромб с данным углом.
Решить в целых числах уравнение 1/a + 1/b + 1/c = 1.
Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)
Известно, что уравнение x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 имеет действительный корень. Докажите неравенство a² + b² ≥ 8.
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
|
|
 |
Условие
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
Решение
Пусть $AM$, $AN$ – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника, а $T$ – точка пересечения $AM$ и $KL$. Тогда $KL$ проходит через $N$. Кроме того, непосредственный счет углов показывает, что прямые $AP$ и $KL$ образуют равные углы с $AM$ – например, при $AB < AC$ имеем $$\angle MAP=\angle MAB+\angle BAP=\angle CAM+\angle LKA=\angle LTA.$$ Поэтому надо доказать, что прямая, проходящая через $J$ и параллельная $KL$, пересекает $BC$ в той же точке, что и прямая, проходящая через середину $U$ отрезка $AJ$ и параллельная $AN$, то есть, что $MJ:JT=MU:UA$. А это равенство следует из того, что четверка $A, J, T, M$ гармоническая (то есть $MJ:MA=TJ:TA$).
