Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком  n > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

   Решение

---

Докажите, что сумма всех чисел вида ¹/_mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом.

   Решение

---

Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y=x. Затем на графике функции отмечаются точки A₀(x₀,f(x₀)), A₁(x₁,f(x₁)),..., A_n(x_n,f(x_n)),... а на биссектрисе координатного угла — точки B₀(x₀,x₀), B₁(x₁,x₁),..., B_n(x_n,x_n),... Ломаная B₀A₀B₁A₁... B_nA_n... называется итерационной.
Постройте итерационные ломаные для следующих данных:
а) f (x) = 1 + ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
б) f (x) = ,    x₀ = 2;
в) f (x) = 2x - 1,    x₀ = 0, x₀ = 1, 125;
г) f (x) = - + 6,     x₀ = ;
д) f (x) = x² + 3x - 3,    x₀ = 1, x₀ = 0, 99, x₀ = 1, 01;
е) f (x) = ,    x₀ = 0, x₀ = 8;
ж) f (x) = - + + 3,     x₀ = 3.

   Решение

---

Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.

   Решение

---

Зафиксируем числа a₀ и a₁. Построим последовательность {a_n} в которой

Выразите a_n через a₀, a₁ и n.

   Решение

---

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

Решение

Точка $L$ пересечения диагоналей четырехугольника лежит на прямой $OI$. Кроме того, $OM\perp ML$, что позволяет построить точку $L$. Пусть теперь $AB$ – диаметр описанной окружности, проходящий через $I$, а $C$ – точка описанной окружности такая, что $CL\perp AB$. Тогда $CO$, $CI$, $CL$ – медиана, биссектриса и высота прямоугольного треугольника $ABC$, Следовательно, $CI$ – биссектриса угла $OCL$. Это позволяет построить точку $C$ как пересечение перпендикуляра из $L$ к $OI$ и окружности Аполлония для точек $O$ и $L$, а значит, и описанную окружность. Наконец, заметим, что середина $N$ второй диагонали лежит на прямой $MI$ и окружности с диаметром $OL$, что позволяет построить вершины четырехугольника.

Источники и прецеденты использования