Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает
оценку – число Q – показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны.
а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на
противоположное – часть жителей В переехала в Б, а часть жителей Б – в А.
Оказалось, что в результате рейтинги всех трёх стран опять выросли (по сравнению
с теми, которые были после первого переезда, но до начала второго). (Так, во
всяком случае, утверждают информационные агентства этих стран.) Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)?
(Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.)
Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?
В вершинах шестиугольника записаны числа 12, 1, 10, 6, 8, 3 (в таком порядке). За один ход разрешено выбрать две соседние вершины и к числам, стоящим в данных вершинах, одновременно прибавить единицу или одновременно вычесть из них единицу. Можно ли получить в итоге шесть чисел в таком порядке:
а) 14, 6, 13, 4, 5, 2; б) 6, 17, 14, 3, 15, 2?
У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?
Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению
при всех x
Имеется 120-значное число. Его первые 12 цифр переставляются всеми возможными способами. Из полученных таким образом 120-значных чисел наугад выбирают 120 чисел. Доказать, что их сумма делится на 120.
Решите уравнение x³ + x² + x = – 1/3.
В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны углы $CAB$, $BCA$, $ECD$, $DEC$ и $AEC$. Докажите, что середина $BD$ лежит на $CE$.
Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B' и C' соответственно. Через точку C' проведена прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая l касается описанной окружности ω треугольника B'OC.
На продолжениях сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1 правильного n-угольника (n ≥ 5) A1A2...An построить точки B1, B2, ..., Bn так, чтобы B1B2 было перпендикулярно к A1A2, B2B3 перпендикулярно к A2A3, ..., BnB1 перпендикулярно к AnA1.
Пусть высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность, описанная около треугольника $AHC$, пересекает отрезки $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает $AC$ в $R$. На прямой $PH$ взята точка $K$ такая, что $\angle KAC = 90^{\circ}$. Докажите, что прямая $KR$ перпендикулярна одной из медиан треугольника $ABC$.
|
|
 |
Условие
Пусть высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность, описанная около треугольника $AHC$, пересекает отрезки $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает $AC$ в $R$. На прямой $PH$ взята точка $K$ такая, что $\angle KAC = 90^{\circ}$. Докажите, что прямая $KR$ перпендикулярна одной из медиан треугольника $ABC$.
Решение 1
Поскольку $\angle BPH=\angle ACH=\angle ABH$, то $PH=BH$. Аналогично $QH=BH$, то есть $H$ – центр окружности $BPQ$. Поэтому эта окружность касается окружностей $\omega_a$ и $\omega_c$ с центрами $K$, $L$ и радиусами $KA$, $LC$ соответственно. Тогда по теореме о трех гомотетиях $R$ – центр внешней гомотетии окружностей $\omega_a$ и $\omega_c$, т.е. $R$ лежит на прямой $KL$.
Поскольку $AP$ – общая хорда окружностей $AHC$ и $\omega_a$, а $CQ$ – общая хорда окружностей $AHC$ и $\omega_c$, то $B$ – радикальный центр этих трех окружностей. Кроме того, степени точки $M$ относительно окружностей $\omega_a$ и $\omega_c$ равны, следовательно, $BM$ – радикальная ось этих окружностей и $BM\perp KL$.
Решение 2
Поскольку $\angle BPH=\angle ACH=\angle ABH$, то $PH=BH$. Аналогично $QH=BH$. Пусть $L$ – точка пересечения прямой $HQ$ и перпендикуляра к $AC$ из точки $C$. Тогда $AK=KP=\frac{AP}{2 \sin A}$ и $CL=LQ=\frac{CQ}{2 \sin C}$. По теореме Менелая $\frac{AR}{CR}=\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}=\frac{AK}{CL}$, следовательно точки $K$, $L$ и $R$ лежат на одной прямой.
Заметим теперь, что $$ BK^2-AK^2=\left(\frac{AB+BP}2\right)^2-\left(\frac{AB-BP}2\right)^2=AB\cdot BP=BC\cdot BQ=BL^2-CL^2, $$ поэтому, если $M$ – середина $AC$, то $MK^2-ML^2=AK^2-CL^2=BK^2-BL^2$, т.е. $BM\perp KL$.
