ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Докажите, что abc = 4prR и
ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.
Около окружности описан четырёхугольник. Его диагонали пересекаются в центре этой окружности. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб. Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Найдите наименьшую величину выражения Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин. На столе лежат две стопки монет: в
одной из них 30 монет, а в
другой - 20. За ход
разрешается взять любое количество
монет из одной стопки. Проигрывает
тот, кто не сможет сделать ход. Кто
из игроков выигрывает при
правильной игре? В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$. |
Задача 67131
УсловиеВ остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$.
РешениеЗаметим, что для любой точки $P$ биссектриса угла $BP_AC$ вторично пересекает описанную окружность в фиксированной точке – середине дуги $BAC$. Поэтому точка пересечения биссектрисы с прямой $OI$ проективно зависит от $P$. Это же верно для точек пересечения $OI$ с биссектрисами углов $CP_BA$ и $AP_CB$. При этом, когда $P$ совпадает с $I$, все три биссектрисы проходят через $O$, а когда $P$ является одной из точек пересечения прямой $OI$ с окружностью, биссектрисы пересекают $OI$ в той же точке. Значит, для любого положения точки $P$ все биссектрисы пересекают $OI$ в одной и той же точке. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке