Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.
Постройте четырехугольник ABCD по четырем
углам и длинам сторон AB = a и CD = b.
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.
Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются
в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD
равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD
равна
ab . CD/2p.
Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками
касания противоположных сторон с вписанной окружностью,
пересекаются в одной точке.
Два квадрата расположены как на рисунке, отмеченные отрезки равны. Докажите, что треугольник BDG равнобедренный.
|
|
 |
Условие
Два квадрата расположены как на рисунке, отмеченные отрезки равны. Докажите, что треугольник BDG равнобедренный.
Решение 1
Перенесём чертёж на клетчатую бумагу. Начнём с квадрата BEGF: пусть это клетчатый квадрат 2×2. По отрезку BC построим квадрат ABCD. Теперь видно, что отрезки DG и DB равны как гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами длиной 1 клетка и 3 клетки.
Решение 2
Заметим, что BD = AC как диагонали квадрата. Если мы докажем, что треугольники CEA и GCD (на рисунке отмечены серым) равны, то из равенства соответственных сторон AC и DG будет следовать DG = AC = BD. Как доказать равенство этих треугольников?
Рассмотрим треугольники ABE и CBF. У каждого из них две стороны равны сторонам исходных квадратов. Равны и углы между этими сторонами: каждый из них дополняет угол EBC до прямого угла квадрата. Значит, эти треугольники равны.
Но треугольник BCF равнобедренный (так как он «расположен в квадрате симметрично»; более формально: CB и CF — гипотенузы прямоугольных треугольников CBE и CFG, равных по двум катетам). Значит, CF=CB=AB=AE.
Теперь мы знаем, что в серых треугольниках равны стороны AE и DC, а стороны CE и CG равны по условию. Осталось доказать, что равны углы между сторонами.
Если угол при основании равнобедренных треугольников ABE и CBF равен α, то ∠AEC=90°+α. Но и ∠DCG=360°-∠BCD-∠BCG=360°-90°-(180°-α)=90°+α (∠CBF=α и ∠BCG дают в сумме 180° как односторонние при параллельных сторонах квадрата и секущей BC).
Равенство серых треугольников (а вместе с ним и утверждение задачи)
доказано.
Решение 3
Рассмотрим треугольники DEG и DEB. У них общая сторона DE, равные стороны EG и EB (как две стороны квадрата). Осталось доказать, что углы DEG и DEB равны, — тогда указанные треугольники будут равны (по двум сторонам и углу между ними), а значит, будут равны и соответственные стороны DG и DB.
Равенство этих углов можно доказать так. Отметим H — середину отрезка EB. Заметим, что HB = EC как половины стороны правого квадрата, а также BC = DC, ∠HBC = 90° - ∠ECB = ∠ECD. Значит, треугольники HBC и ECD равны по двум сторонам и углу между ними. Так как треугольник EHC равнобедренный прямоугольный, ∠EHC = 45°, а ∠DEG = ∠CHB = 180° - ∠EHC = 135°. Но тогда и ∠DEB = 360° - ∠DEG - ∠GEB = 360° - 135° - 90° = 135°.
