Докажите неравенство     при любых натуральных n и k.

   Решение

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.

   Решение

AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

   Решение

Что больше 200! или 100²⁰⁰?

   Решение

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

   Решение

На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A' расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит от точки A.

   Решение

Числа а, b и с лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.

   Решение

Упростите выражения:
а) sinsinsin...sin;
б) sinsinsin...sin;
в) coscoscos...cos;
г) coscoscos...cos.

   Решение

Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

   Решение

Докажите формулу Эйлера: O1O22 = R2-2rR , где O1 , O2 — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника, r , R — радиусы этих окружностей.

   Решение

Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.

   Решение

Докажите, что если числа N и 5N имеют одинаковую сумму цифр, то N делится на 9.

   Решение

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

   Решение

В системе связи, состоящей из 2001 абонентов, каждый абонент связан ровно с n другими. Определите все возможные значения n.

   Решение

Доказать, что в двудольном плоском графе  E ≥ 2F,  если  E ≥ 2  (E – число рёбер, F – число областей).

   Решение

В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.

Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство, а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.

   Решение

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Классические неравенства ] [ Степень вершины ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.

Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство, а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.

Решение

Степенью вершины многогранника называется количество исходящих из неё рёбер этого многогранника. Вершины называются смежными, если они соединены ребром.

Пусть $A$ — произвольная вершина многогранника, $k$ — её степень, $m_j$ — степени всех смежных с ней вершин ($j=1$, $2$, ..., $k$), занумерованных в произвольном порядке. Тогда $m_1+m_2+\ldots+m_k$ — это количество всех рёбер, исходящих из смежных с $A$ вершин, учтённых один или два раза, причём дважды учтены те и только те рёбра, которые лежат против вершины $A$ в некоторой треугольной грани многогранника. Значит, $m_1+m_2+\ldots+m_k\leqslant \text{Р}+\text{Т}$. Отсюда, используя известное неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим, получаем $$ \frac{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}+\ldots+\sqrt{m_k}}{k}\leqslant \sqrt{\frac{m_1+m_2+\ldots+m_k}{k}}\leqslant \frac{\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}}{\sqrt{k}}. $$ Следовательно, $$ \sqrt{\frac{m_1}{k}}+\sqrt{\frac{m_2}{k}}+\ldots+\sqrt{\frac{m_k}{k}}\leqslant \sqrt{\text{Р}+\text{Т}}. $$

Обозначим сумму в левой части последнего неравенства через $S(A)$.

Пусть $A_i$ ($i=1,2,\ldots,\text{В}$) — все вершины многогранника, занумерованные в произвольном порядке, а $n_i$ ($i=1$, 2, ..., $\text{В}$) — их соответственные степени. Для любой пары смежных вершин $A_i$ и $A_j$ по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим выполнено неравенство $$ \sqrt{\frac{n_j}{\smash{n_i}}}+\sqrt{\frac{n_i}{\smash{n_j}}}\geqslant 2. $$

Складывая эти неравенства по всем неупорядоченным парам $\{A_i,A_j\}$ смежных вершин многогранника, получаем $$ \mathop{\textstyle\sum}\limits_{i=1}^\text{В} S(A_i)\geqslant 2\text{Р}. $$

По доказанному выше неравенству $S(A)\leqslant\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}$, отсюда следует требуемая оценка.

Источники и прецеденты использования