Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D; N — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите:
1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;
2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N.
Меньшая сторона прямоугольника равна 1, острый угол между диагоналями равен 60o. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника.
Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC ,
AOC = 60o . Найдите угол AMC , где M — центр окружности,
вписанной в треугольник ABC .
В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 12 и 4, а остальные рёбра равны 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра, равного 12.
В прямоугольный треугольник вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания на отрезки, равные 5 и 12. Найдите площадь треугольника.
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно a. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания.
Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
|
|
 |
Условие
Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.
Решение
Точка $Y$ является точкой пересечения диагоналей трапеции $IC_1C_2J$, поэтому $IY:IC_2=IC_1:(IC_1+JC_2)=r:(r+r_b)$, где $r$ –радиус вписанной окружности, а $r_b$ – радиус вневписанной. Соответственно, $Y$ лежит на вписанной окружности тогда и только тогда, когда $IC_2=r+r_b$, а, поскольку $C_1C_2=AC=b$, это равносильно $b^2=r_b^2+2rr_b$. Такое же условие, очевидно получаем и для точки $Z$. Перейдем к точке $X$. Пусть $BH$ – высота треугольника, $BL$ – биссектриса. Поскольку точки $B$, $L$, $I$, $J$ образуют гармоническую четверку, это верно и для их проекций $H$, $L$, $B_1$, $B_2$. Следовательно, точка $X$ пересечения боковых сторон трапеции $IB_1JB_2$ лежит на $BH$.
Осталось заметить, что $b^2-(a-c)^2=4(p-a)(p-c)=4S^2/(p(p-b))=4rr_b$. Таким образом, для всех трех точек условия попадания на вписанную окружность одинаковы.
