Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.

Вниз   Решение


Восстановите треугольник ABC по прямым lb и lc, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L1.

ВверхВниз   Решение


Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.
Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

ВверхВниз   Решение


Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)

Вверх   Решение

Задача 73648
Темы:    [ Индукция (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Правило произведения ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Б.М.

Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)


Решение 1

  Докажем, что разные n-значные числа, составленные из цифр 1 и 2, дают разные остатки при делении на 2n.
  Действительно, разность d таких чисел можно представить в виде   an·10n–1 + an–1·10n–2 + ... + a2·10 + a1,   где каждое из чисел ai равно 0 или ±1. Рассмотрим наименьший номер k, для которого  ak ≠ 0.  Очевидно, что d делится на 2k–1, но не делится на 2k. Таким образом, d делится на 2n только тогда, когда  d = 0.
  Но и таких n-значных чисел, и различных остатков ровно 2n, поэтому одно из этих чисел дает остаток нуль, то есть делится на 2n.

Решение 2

  Докажем по индукции более сильное утверждение:
    для любого натурального n существует составленное из цифр 1 и 2  n-значное число, кратное 2n.
  База: 2 делится на 2.
  Шаг индукции. Пусть n-значное число A из единиц и двоек делится на 2n. Число 10n делится на 2n, но не делится на 2n+1. Следовательно, ровно одно из чисел  10n + A,   2·10n + A  кратно 2n+1.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М113

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .