Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)
Незнайка утверждает, что он может провести на плоскости 4 прямые так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось пяти и 5 прямых так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось четырем. Прав ли он?
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны
AB за точку B пересекается с продолжением стороны DC за точку
C в точке E. Найдите угол BAD, если AB = 2,
BD = 2,
CD = 5,
BE : EC = 4 : 3.
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c}.$$ Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.
Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры MP и MQ на две его противоположные стороны, и перпендикуляры MR и MT — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны друг другу, а их точка пересечения принадлежит диагонали прямоугольника.
На лицевой стороне каждой из $6$ карточек Аня написала черным или красным фломастером по натуральному числу. При этом каждым цветом Аня написала хотя бы два числа.
Затем Боря взял каждую карточку, посмотрел, каким цветом на ней написано число, перемножил все Анины числа того же цвета на других карточках и записал результат на обороте карточки (если другая карточка того же цвета всего одна, то Боря пишет число с этой одной карточки).
Мы видим обороты, на которых написаны числа $18$, $23$, $42$, $42$, $47$, $63$. А что написано на лицевых сторонах этих карточек?
В параллели 7-х классов 100 учеников, некоторые из которых дружат друг с другом. 1 сентября они организовали несколько клубов, каждый из которых основали три ученика (у каждого клуба свои). Дальше каждый день в каждый клуб вступали те ученики, кто дружил хотя бы с тремя членами клуба. К 19 февраля в клубе «Гепарды» состояли все ученики параллели. Могло ли получиться так, что в клубе «Черепахи» в этот же день состояло ровно 50 учеников?
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x1, x2, x3, ..., x9, x10 равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x1, ½ (x1 + x2), ⅓ (x1 + x2 + x3), ..., 1/10 (x1 + x2 + ... + x10)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?
|
|
 |
Условие
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x1, x2, x3, ..., x9, x10 равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x1, ½ (x1 + x2), ⅓ (x1 + x2 + x3), ..., 1/10 (x1 + x2 + ... + x10)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?
Решение
Обозначим через yk число 1/k (x1 + x2 + ... + xk), Если прибавить ко всем xi некоторое число a, то вместо чисел yi мы получим числа yi + a. Максимальные разности для чисел yi и для чисел yi + a совпадают. Поэтому от набора {xi} с помощью подходящего выбора a можно перейти к такому набору {Xi}, что наименьшие Xi равны нулю, а наибольшие – единице. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие наборы. Аналогично, если заменить числа xi на 1 – xi, то yi заменятся на 1 – yi. Следовательно, от набора {xi} можно перейти к набору {1 – xi}: максимальные разности между числами yi и числами 1 – yi одинаковы.
Пусть yk – наименьшее, а ym – наибольшее из чисел {yi}. Если k < m, то
ym – yk = k/m·yk + 1/m (xk+1 + ... + xm) – yk = 1/m (xk+1 + ... + xm) – (1 – k/m) yk ≤ 1 – m–k/m ≤ 1 – 1/n.
Если же m < k, то ym – yk = k–m/k·ym – 1/k (xm+1 + ... + xk) ≤ 1 – k–m/k ≤ 1 – 1/n. Следовательно, максимальная разность не больше 1 – 1/n. Набор с такой разностью легко указать: x1 = 0, x2 = x3 = ... = xn = 1.
Оценим, чему равна максимальная разность, если в наборе
{xi} xk = 1, xm = 0. Будем считать, что k < m (если это не так, то от набора {xi} перейдем к набору {1 – xi}). Если k = 1, то разность не меньше 1/n. Действительно, тогда y1 = 1, а yn = 1/n (x1 + ... + xn) ≤ n–1/n, поскольку все
xi ≤ 1, а один из них равен нулю.
Пусть k > 1. Тогда Δ1 = yk – yk–1 = 1/k–1 (1 – yk), Δ2 = ym–1 – ym = 1/m·ym–1, и если yk ≤ ym–1, то Δ2 ≥ 1/m·yk. Наибольшее из чисел Δ1, Δ2 не меньше 1/k+m–1, поскольку 1 ≤ (k – 1)Δ1 + mΔ2 ≤ (k + m – 1)M, где M = max{Δ1, Δ2}. Если же yk > ym–1, то рассмотрим еще разность
Δ3 = yk – ym = yk – ym–1 + 1/m·ym–1. mΔ3 + (k – 1)Δ1 =
(m – 1)(yk – ym–1) + 1 > 1, откуда max{Δ1, Δ3} ≥ 1/k+m–1.
Итак, мы доказали, что разность не меньше 1/k+m–1. Поэтому для произвольного набора она не меньше 1/2(n–1) (m ≤ n, k ≤ n – 1). Такую разность реализовать можно: достаточно, например, рассмотреть набор x1 = x2 = ... = xn–2 = ½, xn–1 = 1, xn = 0. Итак, наименьшая разность равна 1/2(n–1).
Ответ
а) 0,9; б) 1/18; в) n–1/n, 1/2(n–1).
