Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA₁, ..., OA_n.
  а) При  n = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A₁OA₂, ..., A_nOA₁ одинакова.
  б) Доказать, что при  n = 10  такой нумерации осуществить нельзя.

   Решение

Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).

   Решение

Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.

   Решение

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

   Решение

На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.
Докажите, что такая расстановка единственна.

   Решение

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

   Решение

Тема:    [ Окружности (построения) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

Решение

Предположим, что мы построили требуемую точку X. Пусть прямая AX пересекает данную окружность S в точке C, а прямая BX — в точке D. Проведём через точку D прямую, параллельную прямой AB; она пересекает окружность S в некоторой точке K. Пусть прямая KC пересекает прямую AB в точке P. Треугольники APC и AXB подобны, поскольку угол A у них общий и APC = CKD = CXD. Из подобия этих треугольников следует, что AP ^. AB = AC ^. AX. Из этого вытекает следующее построение. Проведём через точку A прямую, пересекающую окружность S в некоторых точках C' и X'. Тогда AP ^. AB = AC ^. AX = AC' ^. AX', поэтому мы можем построить точку P. Далее, нам известен угол CDK (он равен углу между прямыми AB и MN). Поэтому мы знаем длину хорды KC, а значит, мы можем построить окружность S', которая имеет тот же самый центр, что и окружность S, и касается хорды KC. Проведя из точки P касательную к окружности S', находим точку C.

Источники и прецеденты использования