Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3n) ≥ S(3n+1).
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Ma, Mb, Mc – середины сторон, Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков MaHb, MbHc, McHa можно составить треугольник, найти его площадь.
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Найти все прямые в пространстве, проходящие через данную точку M на данном расстоянии d от данной прямой AB.
|
|
 |
Условие
Найти все прямые в пространстве, проходящие через данную точку M на данном
расстоянии d от данной прямой AB.
Решение
Ответ: прямые, лежащие в двух плоскостях, касающихся цилиндра радиуса d с осью AB и проходящих через точку M, за исключением прямой, параллельной AB (если точка M расположена на расстоянии d от прямой AB, то касательная плоскость будет одна и прямую исключать при этом не нужно). Прямые, удалённые на расстояние d от прямой AB, — это в точности прямые, касающиеся указанного цилиндра. Если из этих прямых выбрать те, которые проходят через точку M, то получим указанное в ответе множество.
