Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

   Решение

Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали $k$ умножений. Оказалось, что в десятичной записи исходного числа и полученных $k$ чисел нет
цифры 7. Докажите, что существует натуральное число, которое можно $k$ раз умножить на 2, и снова ни в одном числе не будет цифры 7 в его десятичной записи.

   Решение

99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.

   Решение

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

   Решение

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  a_n ≤ n¹⁰  при любом n?

б) Тот же вопрос, если  a_n ≤ n  при любом n.

   Решение

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.

   Решение

В трёхгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке O.
Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна к прямой SO.

   Решение

Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что  $|a_0a_1...a_k  +   a_1a_2...a_{k+1}  +   ...   +  a_na_{n+1}...a_{n+k}| = 2017.$

   Решение

Найдите соотношение между

   Решение

ABC разбит прямой BD на два треугольника. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в ABD и DBC, больше радиуса окружности, вписанной в ABC.

   Решение

Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности O. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE, NF соответственно на прямые A, CA и CB. Докажите, что ND есть среднее геометрическое чисел NE и NF.

   Решение

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4- Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Из точки C проведены касательные CA и CB к окружности O. Из произвольной точки N окружности опущены перпендикуляры ND, NE, NF соответственно на прямые A, CA и CB. Докажите, что ND есть среднее геометрическое чисел NE и NF.

Решение

См. задачу 52458.

Источники и прецеденты использования