Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.
Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.
Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины
диагоналей — m и n. Докажите, что
a4 + b4 = m2n2 тогда и
только тогда, когда острый угол параллелограмма равен
45o.
В треугольнике ABC угол B равен 60o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в которой её касается вписанная окружность.
Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей
ортогонального пучка, и наоборот.
Основание наклонной призмы – равносторонний треугольник со стороной a . Одно из боковых рёбер равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы 45o . Найдите боковую поверхность призмы.
Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны
так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите,
что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда
указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом
120o при вершинах A1, B1 и C1.
Найдите углы и стороны четырёхугольника с вершинами в серединах сторон равнобедренной трапеции, диагонали которой равны 10 и пересекаются под углом 40o.
На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков DE.
|
|
 |
Условие
На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки
произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков
DE.
Решение
Пусть X — середина отрезка DE, M — середина отрезка AC. Достроим треугольники ADX и CEX до параллелограммов ADXA' и CEXC'. Точка X является серединой отрезка DE, поэтому отрезки AA' и C'C равны. Ясно также, что эти отрезки параллельны, а значит, AA'CC' — параллелограмм. Поэтому точка M — середина отрезка A'C'. Из равенства отрезков AD и CE следует, что треугольник A'XC' равнобедренный. Поэтому его медиана XM является также и биссектрисой. Следовательно, прямая XM параллельна биссектрисе угла B треугольника ABC. Таким образом, точка X лежит на фиксированной прямой, проходящей через точку M. Искомое ГМТ — отрезок этой прямой, лежащий внутри треугольника ABC.
