Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.
Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что
Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых
делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является
квадратом натурального числа.
Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и
3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных
углов соответственно равны 4, 3, 5, 4
. Площадь
многоугольника равна S. Доказать, что S
10.
Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
|
|
 |
Условие
Плоский многоугольник
A1A2...An составлен из n твёрдых стержней,
соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать
в треугольник.
Решение
Пусть a — наибольшая сторона данного многоугольника (если наибольших сторон несколько, то мы выбираем любую из них). Рассмотрим часть многоугольника, которая остаётся после выбрасывания стороны a, и возьмём точку, которая делит пополам периметр этой части. Если эта точка является вершиной многоугольника, то мы очевидным образом деформируем этот многоугольник в равнобедренный треугольник. Предположим теперь, что эта точка лежит на стороне b, а периметры частей многоугольника, заключённых между сторонами a и b, равны x и y. Тогда x + b ≥ y и y + b ≥ x. Если, например, x = 0, то мы можем составить треугольник из отрезков a, b, y. Поэтому будем считать, что x, y ≠ 0. Предположим, что треугольник нельзя составить ни из отрезков a, x, y + b, ни из отрезков a, y, x + b. Отрезок короче соединяющей его концы ломаной, поэтому a < x + y + b. Кроме того, есть неравенства x + b ≥ y и y + b ≥ x. Значит, должны выполняться неравенства a + x ≤ y + b и a + y ≤ x + b (чтобы нельзя было составить треугольник со сторной y + b или x + b). Поэтому x = y и a ≤ b. Но по предположению a ≥ b, значит, a = b. По условию число сторон многоугольника больше 4. Поэтому одна из ломаных длины x состоит из двух частей периметра x1 и x2. Легко проверить, что из отрезков длины x, a + x1, a + x2, где x1 + x2 = x, можно составить треугольник.
