Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.

   Решение

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

   Решение

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

   Решение

Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.

   Решение

Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.

   Решение

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

Решение

Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁. Треугольники A₁BC₁ и A₁CB₁ равнобедренные; их углы при основаниях равны  ½ (180° – ∠B)  и  ½ (180° – ∠C).  Следовательно,  ∠A₁ = ½ (∠B + ∠C).  Аналогично  ∠B₁ = ½ (∠A + ∠C)  и  ∠C₁ = ½ (∠A + ∠B).  Аналогичные вычисления для второго треугольника показывают, что  ∠A₂ = ½ (∠B₁ + ∠C₁) = ½ (2∠A + ∠B + ∠C),  ∠B₂ = ½ (2∠B + ∠A + ∠C)  и
∠C₂ = ½ (2∠C + ∠A + ∠B).  Пусть для определённости  ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C.  Тогда  ∠A₂ ≤ ∠B₂ ≤ ∠C₂.  Таким образом, из данного условия следует, что
∠A = ∠A₂,  то есть  2∠A = ∠B + ∠C.  Учитывая неравенство  ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C,  получаем  ∠A = ∠B = ∠C.

Ответ

Все углы равны 60°.

Источники и прецеденты использования