Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3n) ≥ S(3n+1).
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Ma, Mb, Mc – середины сторон, Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков MaHb, MbHc, McHa можно составить треугольник, найти его площадь.
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Найти все прямые в пространстве, проходящие через данную точку M на данном расстоянии d от данной прямой AB.
Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что
Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.
Чётными или нечётными будут сумма и произведение:
а) двух чётных чисел?
б) двух нечётных чисел?
в) чётного и нечётного чисел?
Найти все действительные решения системы
|
|
 |
Условие
Найти все действительные решения системы
Решение
Рассмотрим последовательность, заданную первым членом x1 и рекуррентной формулой xk+1 = f(xk), где f(x) = 1 – x². Нам нужно узнать, при каких x1 последовательность будет периодической. Заметим, что функция f имеет две неподвижные точки (два решения уравнения f(x) = x): Поэтому при x1 = a и x1 = b последовательность будет постоянной. Кроме того, f имеет две точки периода 2:
f(0) = 1, f(1) = 0. Поэтому при x1 = 0 и x1 = 1 последовательность имеет период 2. Докажем, что при других значениях x1 последовательность периодической не будет.
Заметим, что а) f(x) ≤ 1 при всех x; б) f(x) > 0 при –1 < x < 1; в) f(x) < x при x < a и x > b; г) f(x) > x при a < x < b; д) f(x) > b при
0 < x < b, f(x) < b при b < x < 1. Разберём несколько случаев.
1) x1 > 1. В силу а) ни один из следующих членов последовательности не равен x1.
2) x1 < a. В силу в) x2 < x1 < a, x3 < x2 < a, ..., то есть последовательность убывает. Следовательно, она непериодическая.
3) a < x1 < 0. Пока члены последовательности находятся в этом интервале, в силу г) выполнено неравенство xk+1 > xk, то есть последовательность возрастает. Если последовательность никогда не покинет этот интервал (на самом деле это невозможно, но мы не будем тратить время на доказательство), то она непериодическая. Если же какой-то член xk ≥ 0, то силу а) и б) все последующие члены находятся на отрезке [0, 1], и ни один из них не равен x1.
4) 0 < x1 < b. Тогда в силу д), а) и б) все нечётные члены находятся в интервале (0, b), а все чётные – в интервале (b, 1). Докажем, что последовательность нечётных членов убывает. Для этого достаточно проверить, что f(f(x)) = 1 – (1 – x²)² < x при 0 < x < b.
Действительно, x – 1 + (1 – x²)² = x(x – 1)(x² + x – 1) > 0 (первый множитель на указанном интервале положителен, а два других отрицательны). Таким образом, последовательность непериодична.
5) b < x1 < 1. Тогда все чётные члены находятся в интервале (0, b), и, как показано выше последовательность чётных членов убывает. Таким образом, и в этом случае последовательность непериодична.
Ответ
При чётном n добавляются еще два решения: (0, 1, 0, 1, ..., 0, 1) и (1, 0, 1, 0, ..., 1, 0).
Замечания
Для знатоков. В книге Г.А. Гальперина, А.К. Толпыго "Московские математические олимпиады" (1986) ошибочно утверждается, что точка b является притягивающей точкой функции f. На самом деле она отталкивающая, как и точка a.
