Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  m² + 1  точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся  m + 1  точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.

   Решение

---

Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что  S(3ⁿ) ≥ S(3ⁿ⁺¹).

   Решение

---

Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?

   Решение

---

M_a, M_b, M_c – середины сторон, H_a, H_b, H_c – основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков M_aH_b, M_bH_c, M_cH_a можно составить треугольник, найти его площадь.

   Решение

---

Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)

   Решение

---

На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки  n – 1  цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.

   Решение

---

Найти все прямые в пространстве, проходящие через данную точку M на данном расстоянии d от данной прямой AB.

   Решение

---

Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

   Решение

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 11

Прислать комментарий

Условие

Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

Решение

Опустим из точки O перпендикуляры OA₁, OB₁, OC₁ и OD₁ на грани. Из точки G тоже опустим перпендикуляры GA₂, GB₂, GC₂ и GD₂ на грани. Ясно, что

и GA₂ = GB₂ = GC₂ = GD₂ = x. Остаётся доказать, что OA₁ + OB₁ + OC₁ + OD₁ = 4x. Пусть a — длина ребра правильного тетраэдра ABCD, V — объём тетраэдра. Тогда

Поэтому сумма OA₁ + OB₁ + OC₁ + OD₁ одна и та же для всех точек O внутри тетраэдра ABCD. Но если O совпадает с G, то эта сумма равна 4x.

Источники и прецеденты использования