Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти все такие числа.

Вниз   Решение


При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  n – 1  врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

ВверхВниз   Решение


Можно ли записать в строку 20 чисел так, чтобы сумма любых трёх последовательных чисел была положительна, а сумма всех 20 чисел была отрицательна?

ВверхВниз   Решение


На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше 1/2. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/5.

ВверхВниз   Решение


Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.

ВверхВниз   Решение


Мальвина всю неделю учила Буратино писать. Она изобразила на диаграмме, сколько букв написал Буратино за каждый из семи дней. Черта на диаграмме показывает среднее число букв (оно равно 9). Буратино оторвал кусок диаграммы, как показано на рисунке. Сколько букв он написал в воскресенье?

ВверхВниз   Решение


Масса каждой из 19 гирь не больше 70 г и равна целому числу граммов. Доказать, что из этих гирь нельзя составить более 1230 различных по массе наборов.

Вверх   Решение

Задача 78740
Тема:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Масса каждой из 19 гирь не больше 70 г и равна целому числу граммов. Доказать, что из этих гирь нельзя составить более 1230 различных по массе наборов.

Решение

Разобьём все наборы на две части: те, в которых не более семнадцати гирь и все остальные. Масса каждого набора из первой части не превосходит  17 . 70 = 1190, а значит, среди них не более 1190 различных по массе. С другой стороны, количество наборов во второй части равно 19 + 1 = 20. Следовательно, всего из данных гирь можно составить не более, чем  1190 + 20 = 1210 < 1230 различных по массе наборов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 33
Год 1970
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .