Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

   Решение

Доказать, что при любом целом положительном n сумма     больше ½.

   Решение

Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).

   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

   Решение

Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.

   Решение

В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если  ∠AOB = α,  а радиус круга равен r.

   Решение

Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n² равна 100?

   Решение

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

   Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что треугольник ABC правильный.

   Решение

К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

   Решение

Решить в целых числах уравнение  x + y = x² – xy + y².

   Решение

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

   Решение

Тема:    [ Взвешивания ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

Решение

Ответ: можно. Приведём пример взвешиваний, позволяющих ответить на вопрос задачи. Первое взвешивание. Разделим все монеты на кучки A и B по 500 монет в каждой и взвесим их на чашечных весах. Тогда возможны два случая. Если A > B (этот случай полностью эквивалентен случаю A < B, поэтому рассмотрим только один из них), то фальшивых монет либо 1, либо 2. В таком случае разделим каждую кучку на две равные части по 250 монет в каждой (A = A₁ + A₂, B = B₁ + B₂). Во втором взвешивании на одну чашку весов положим A₁ и B₁, а на вторую A₂ и B₂. Опять же возможно два случая, поскольку случай A₁ + B₁ > A₂ + B₂ симметричен случаю A₁ + B₁ < A₂ + B₂. Если A₁ + B₁ > A₂ + B₂, то если фальшивая монета или фальшивые монеты тяжелее, то она или они из A₁, если легче, то из B₂, а в A₂ и B₁ — настоящие монеты. Теперь последним взвешиванием, сравнив B₁ и B₂, выясним, есть ли в B₂ фальшивые монеты. Если есть, то они легче настоящих, если нет, то фальшивые в A₁, причём они тяжелее настоящих. Если A₁ + B₁ = A₂ + B₂, тогда получаем, что фальшивых монет две, причём либо по одной в A₁ и A₂ и они тяжелее настоящих, либо по одной в B₁ и B₂ и они легче настоящих. Оставшимся взвешиванием, разделив A₁ с одной фальшивой монетой либо без нее на две части по 125 монет и сравнив, получим, если равенство, то монеты в A₁ настоящие, а фальшивые в B и они легче настоящих, иначе фальшивые в A и они тяжелее настоящих. Если A = B, тогда фальшивых монет либо вообще нет, либо 2, причём если они есть, то по одной в A и B. Разделив A и B как и в предыдущем случае, сравним A₁ с A₂. В случае равенства получаем, что фальшивых монет нет. Если же A₁ < A₂, тогда разделим A₁ на две равные части по 125 монет в каждой и сравним их. Если они окажутся равными, то монеты в них настоящие, а значит, фальшивая в A₂ и тяжелее настоящих. Если же они не равны, то фальшивая в A₁ и легче настоящих.

Источники и прецеденты использования