Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

   Решение

Доказать, что при любом целом положительном n сумма     больше ½.

   Решение

Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).

   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

   Решение

Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.

   Решение

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 10

Прислать комментарий

Условие

Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.

Решение

Пусть P(x) – наш многочлен. Тогда для целых a и b число  P(a) − P(b)  делится на  a − b  (см. решение задачи 35562). Предположим, что
P(a₁) = P(a₂) = P(a₃) = 2  и  P(b) = 3,  где a₁, a₂, a₃ и b – различные целые числа. Тогда  |a₁ − b| = |a₂ − b| = |a₃ − b| = 1,  что невозможно.

Замечания

Ср. с задачей 79247.

Источники и прецеденты использования