Выбрано 14 задач 
Убрать все задачи
Даны целые числа a, b и c, c ≠ b. Известно, что квадратные трёхчлены ax² + bx + c и (c – b)x² + (c – a)x + (a + b) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что a + b + 2c делится на 3.
В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов
32 + 42 = 52,
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442,
552 + 562 + 572 + 582 + 592 + 602 = 612 + 622 + 632 + 642 + 652.
Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.
В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a² + 2cd + b² и c² + 2ab + d² являются полными квадратами.
В треугольнике ABC ( AB < BC) точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что ∠IMA = ∠INB.
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.
Верно ли, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырёхугольника?
В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – n×n, где n > 3)?
Даны два треугольника ABC и A'B'C', имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка P, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от P до сторон треугольника ABC равна сумме расстояний от P до сторон треугольника A'B'C'.
Лист клетчатой бумаги размером 5×n заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?
Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера (ak ≤ k) и сумма всех чисел – чётное число.
Доказать, что одна из сумм a1 ± a2 ± ... ± an равна нулю.
|
|
 |
Условие
Натуральные числа a1, a2, ..., an таковы, что каждое не превышает своего номера (ak ≤ k) и сумма всех чисел – чётное число.
Доказать, что одна из сумм a1 ± a2 ± ... ± an равна нулю.
Решение
Докажем это утверждение индукцией по n.
База (n = 2) очевидна, так как единственный возможный набор a1 = a2 = 1.
Шаг индукции. Возьмём удовлетворяющий условию набор a1, a2, ..., an, an+1. Если an = an+1, то сумма a1 + ... + an–1 чётна; учитывая предположение индукции, заключаем, что одна из сумм a1 ± a2 ± ... ± an–1 + an − an+1 равна нулю.
Если же an ≠ an+1, заменим данный набор набором a1, a2,..., an–1, |an − an+1|. Для нового набора выполнены все условия: число |an − an+1| имеет
ту же чётность, что и an + an+1; из an ≠ an+1, 1 ≤ an ≤ n и 1 ≤ an+1 ≤ n + 1 вытекает 1 ≤ |an − an+1|. По предположению индукции одна из сумм
a1 ± a2 ± ... ± |an − an+1| равна нулю. Остаётся "раскрыть модуль": |an − an+1| = ± (an − an+1).
Замечания
В Задачнике "Кванта" задача дана в следующей формулировке.
Даны такие натуральные числа a1, a2, ..., an, ни одно из которых не превосходит своего номера, что сумма всех их чётна. Докажите, что сумма нескольких данных чисел равна сумме остальных.
