Угол при вершине A треугольника ABC равен 120^o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

   Решение

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

   Решение

Фазовая плоскость Opq разбивается параболой  p² – 4q = 0  и прямыми  p + q + 1 = 0,  – 2p + q + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  x² + px + q = 0  на интервале  (– 2, 1).

   Решение

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

   Решение

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3^u₁2^v₁ + 3^u₂2^v₂ + ... + 3^u_k2^v_k,  где  u₁ > u₂ > ... > u_k ≥ 0  и  0 ≤ v₁ < v₂ < ... < v_k  – целые числа.

   Решение

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

   Решение

Темы:    [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Решение

  Мы должны доказать, что для любых  n ≥ 4  неотрицательных чисел a₁, ..., a_n, сумма которых равна 1, выполнено неравенство
a₁a₂ + a₂a₃ + ... + a_n–1a_n + a_na₁ ≤ ¼.
  При чётном  n = 2m  это неравенство доказывается непосредственно: пусть  a₁ + a₃ + ... + a_2m–1 = a;  тогда
a₁a₂ + a₂a₃ + ... + a_n–1a_n + a_na₁ ≤ (a₁ + a₃ + ... + a_2m−1)(a₂ + a₄ + ... + a_2m) = a(1 − a) ≤ ¼.
  Пусть n нечётно и a_k – наименьшее из данных чисел. Можно считать, что  1 < k < n − 1  – это не ограничивает общности при  n ≥ 4.)  Положим  b_i = а_i  при  i = 1, ..., k − 1,  b_k = a_k + a_k+1  и  b_i = a_i+1  при  i = k + 1, ..., n − 1.  Применяя уже доказанное неравенство к числам b₁, ..., b_n–1,  получим
a₁a₂ + ... + a_k–2a_k–1 + (a_k–1 + a_k+2)b_k + a_k+2a_k+3 + ... + a_n–1a_n + a_na₁ ≤ ¼.
  Остаётся заметить, что  a_k–1a_k + a_ka_k+1 + a_k+1a_k+2 ≤ a_k–1a_k + a_k–1a_k+1 + a_k+1a_k+2 ≤ (a_k–1 + a_k+2) b_k.

Замечания

Указанная оценка точная; она достигается, когда два из n чисел равны ½, а остальные – нули.

Источники и прецеденты использования