Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.
Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что
Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.
На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.
Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых
делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является
квадратом натурального числа.
Проекции плоского выпуклого многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и
3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных
углов соответственно равны 4, 3, 5, 4
. Площадь
многоугольника равна S. Доказать, что S
10.
Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
10 книг стоят больше 11 рублей, а 9 книг стоят меньше 10 рублей. Сколько стоит одна книга?
Решить в натуральных числах уравнение x2y–1 + (x + 1)2y–1 = (x + 2)2y–1.
Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два
равных 5-угольника?
Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)
|
|
 |
Условие
Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)
Решение
Рассмотрим на доске клетчатый квадрат со стороной 105, который назовём большим. Разобьём его на 25 квадратов 21×21, которые назовём малыми.
Занумерованная клетка, находящаяся на расстоянии менее 10 от центральной клетки некоторого малого квадрата, находится в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдётся хотя бы 25 занумерованных клеток. Наименьшее из чисел в них отличается от наибольшего более, чем на 23. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 150, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удалёнными клетками которого равно
