Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?
Пусть α – действительное положительное число, d – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на d, равно [α/d].
Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?
Врун всегда лжёт, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил Вруна, Хитреца и Переменчика, которые знают друг друга. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить, кто есть кто?
Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.
В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через диагональ A1C1 грани куба и середину ребра AD . Найдите расстояние от середины ребра AB до плоскости P , если ребро куба равно 3.
В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что
биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой,
проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда
C = 90o.
Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986?
Пусть M и N – точки пересечения медиан граней ABD и BCD тетраэдра ABCD. Найдите MN, если известно, что AC = a.
|
|
 |
Условие
Пусть M и N – точки пересечения медиан граней ABD и BCD тетраэдра ABCD. Найдите MN, если известно, что AC = a.
Решение
Пусть L – середина ребра BD. Тогда медианы AL и CL треугольников ABD и BCD проходят через точки M и N, причём AM : ML = CN : NL = 2 : 1.
Из подобия треугольников LMN и LAC находим, что
MN = AC·LM/LA = a/3.
Ответ
a/3.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7127 |
