Информация о задаче

Выбрано 14 задач

Решите систему:

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

Решение

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$ .

Решение

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке

Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

Решение

Автор: Маресин В.

Для каждого натурального n > 1 существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + ^π/_n, синуса числа
x + ^2π/_n, ..., наконец, синуса числа x + ^{(n – 1)π}/_n равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

Решение

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?

Решение

Сумма восьми чисел равна ⁴/₃. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?

Решение

X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, X, X², X³, X⁴, ..., X^k (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Решение

Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,

Решение

Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC является биссектрисой угла A.

Решение

Докажите, что
а) S³ $\leq$ ( $\sqrt{3}$ /4)³(abc)²;
б) 3h_ah_bh_c $\leq$ 43 $\sqrt{S}$ $\leq$ 3r_ar_br_c.

Решение

Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если

а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;

б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.

Решение

Через точку K , расположенную внутри сферы, проведены три попарно перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сферу в точках A и A1 , вторая – в точках B и B1 , третья – в точках C и C1 , причём AA1=22 , CC1=20 , а точка K делит отрезок BB1 в отношении (9 + ) : (9 -) . Найдите радиус сферы, если известно, что точка K отстоит от центра сферы на расстоянии .

Решение

Условие

Ответ

Источники и прецеденты использования