Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Натуральные числа m1, ..., mn попарно
взаимно просты. Докажите, что число x = (m2...mn)φ(m1) является решением системы
x ≡ 1 (mod m1),
x ≡ 0 (mod m2),
...
x ≡ 0 (mod mn).
Площадь основания пирамиды равна s . Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь полученного сечения.
Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.
Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5.
Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь
параллелограмма, если BM = 2, а
cosBAM =
.
Ребро BD пирамиды ABCD перпендикулярно плоскости ADC . Докажите, что сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середины рёбер AB и BC , является треугольник, подобный треугольнику ABC . Чему равен коэффициент подобия?
|
|
 |
Условие
Ребро BD пирамиды ABCD перпендикулярно плоскости ADC .
Докажите, что сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через
точку D и середины рёбер AB и BC , является треугольник,
подобный треугольнику ABC . Чему равен коэффициент подобия?
Решение
Пусть M и N – середины рёбер AB и BC соответственно. Тогда
MN – средняя линия треугольника ABC . Поэтому MN = AC .
Прямая BD перпендикулярна плоскости ACD , поэтому треугольники ABD
и CBD – прямоугольные. Их медианы DM и DN , проведённые из вершин
прямых углов, равны половинам гипотенуз, т.е. DM =
AB и
DN =
BC . Следовательно, треугольник MDN подобен треугольнику
ABC с коэффициентом
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 8222 |
