Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
В остроугольном треугольнике ABC проведены
медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли
площадь треугольника, образованного точками пересечения
этих отрезков, быть больше
0, 499SABC?
а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?
б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)
Даны отрезки a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .
Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?
Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.
Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?
Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.
В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями – елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного – одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного – тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?
|
Название задачи: Деревья в усадьбе. |
 |
Условие
В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями – елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного – одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного – тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?
Подсказка
Заметьте, что услови наложено на деревья одной "чётности".
Решение
Уберём мысленно половину деревьев, посаженных через одно, так, чтобы в другой половине было хвойное дерево. Тогда останется 48 деревьев, а условие станет таким: из двух деревьев, растущих рядом с хвойным, – одно хвойное, а другое берёза, и из двух деревьев, растущих через одно от хвойного, – тоже одно хвойное, а другое берёза.
Рассмотрим одно из посаженных хвойных деревьев. Назовём его деревом 1 и занумеруем все деревья по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 48 и 2 – одно хвойное, другое – берёза. Будем для определенности считать, что дерево 2 – берёза, а 48 – хвойное. Рассмотрим дерево 48. Рядом с ним – дерево 1 (хвойное) и 47 (значит, 47 – берёза). Через одно дерево от 1 – 47 (берёза) и 3 (значит, 3 – хвойное). У дерева 3 два соседа – 2 (берёза) и 4 (хвойное). Теперь ясно, что все время повторяется группа из трёх деревьев – БХХ – берёза и два хвойных. Всего деревьев 48, значит, эта группа повторится 16 раз.
Аналогично вычисляется число берёз в оставшейся половине деревьев – если среди них есть хотя бы одно хвойное, то берёз тоже 16; если хвойных среди них нет, то условие задачи не нарушается, а берёз в этой половине 48. Итак, вокруг замка посажено либо 16+16=32 берёзы, либо 16+48=64 берёзы.
Ответ
32 берёзы или 64 берёзы.
