Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не
поворачивает назад.
Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?
Докажите, что последовательность an = 1 + 17n² (n ≥ 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.
В пространстве даны параллелограмм ABCD и плоскость M.
Расстояния от точек A, B и C до плоскости M равны
соответственно a, b и c.
Найти расстояние d от вершины D до плоскости M.
Докажите, что для любого числа p > 2 найдется
такое число , что
Пусть характеристическое
уравнение (11.3
) последовательности (11.2)
имеет комплексные корни
x1, 2 = a±ib = re±i.
Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет
выполняться равенство
Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно
отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
а) четыре,
б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?
|
|
 |
Условие
Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно
отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
а) четыре,
б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?
Решение
а) Пример такого восьмиугольника: полуправильный восьмиугольник со сторонами 2 и От него можно четырьмя способами отрезать описанную трапецию со сторонами
б) Докажем, что это невозможно.
Первый способ. Среди пяти диагоналей, отсекающих описанные четырёхугольники найдутся соседние, например, AD и BE. Тогда
AB + CD = BC + AD, BC + DE = CD + BE, значит, AB + DE = AD + BE. Это противоречит тому, что сумма длин диагоналей четырёхугольника больше суммы длин двух его противоположных сторон (см. зад. 55162).
Второй способ. Пусть окружности с центрами P и Q вписаны в четырёхугольники ABCD и BCDE. Оба центра находятся на биссектрисе угла BCD. Кроме того, P лежит на биссектрисе угла ABC, а Q – на биссектрисе угла EBC. ∠EBC < ∠ABC, поэтому BQ < BP. Но аналогично (с использованием углов ADC и EDC вместо EBC и ABC) доказывается, что BP < BQ. Противоречие.
Ответ
а) Может; б) не может.Замечания
1. Баллы: 2 + 2.
2. Чуть более общий случай см. в задачей М1052 из Задачника "Кванта".
