В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

   Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A₁...A_n; M₁,..., M_n — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁,..., A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁...A_n и  M₁...M_n гомотетичны.

   Решение

Клайв прокрутил минутную стрелку, так же как в задаче 32796.)
  а) Сколько раз за это время минутная стрелка совпала с часовой?
  б) В какие моменты это происходило?

   Решение

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_n.

   Решение

Темы:    [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Основные свойства центра масс ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_n.

Решение 1

Пусть  x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n  – данные числа. Тогда  (x₁ – x_k)(x_n – x_k) ≤ 0  при каждом k от 1 до n. Сложив все эти неравенства, получим
nx₁x_n – (x₁ + x_n)·0 + 1 ≤ 0,  то есть  x₁x_n ≤ – ¹/_n.

Решение 2

Рассмотрим на плоскости n точек с координатами    По условию координаты их центра тяжести равны  (0, ¹/_n).  Тем самым, найдётся точка с положительной абсциссой. Проведём через точку с наибольшей положительной абсциссой и центр тяжести прямую. Эта прямая пересекает параболу
y = x²  ещё в одной точке, абсциссу которой обозначим u. Поскольку все остальные точки не могут лежать ниже этой прямой, найдётся точка с абсциссой
x_j ≤ u.  Заметим, что x_i и u удовлетворяют уравнению  ¹/_n + kx = x²,  значит, их произведение  ux_i = – ¹/_n,  а  x_ix_j ≤ – ¹/_n.

Замечания

5 баллов.

Источники и прецеденты использования