Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
а) Докажите для всех n > 2 неравенство
б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех n > 2
Художник-авангардист нарисовал картину "Контур квадрата и его диагонали".
Мог ли он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды?
Числовая последовательность определяется условиями:
Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?
|
|
 |
Условие
Числовая последовательность определяется условиями:
Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?
Решение
Согласно решению задачи 98152 все полные квадраты в этой последовательности имеют вид 4m. Чисел такого вида в указанных пределах ровно 10
(410 = 1024² > 106).
Замечания
6 баллов
