Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Для любых чисел a1 и a2, удовлетворяющих условиям a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, a1 + a2 = 1, можно найти такие числа b1 и b2, что b1 ≥ 0, b2 ≥ 0, b1 + b2 = 1,
(5/4 – a1)b1 + 3(5/4 – a2)b2 > 1. Доказать.
Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.
На каждом борту лодки должно сидеть по четыре человека. Сколькими способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём десять человек хотят сидеть на левом борту лодки, двенадцать – на правом, а девяти безразлично где сидеть?
На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?
Число рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не
проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может
равняться 96,
в) но не может равняться 100.
|
|
 |
Условие
Число рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не
проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может
равняться 96,
в) но не может равняться 100.
Решение
а) Оценка. Не более ⅔ рёбер выпуклого многогранника могут быть пересечены одной плоскостью. Действительно, в каждой грани пересечено не более двух сторон, а число сторон этой грани не меньше 3, то есть в каждой грани пересечено не более ⅔ её сторон. Сложив эти неравенства по всем граням (при этом каждое ребро встретится дважды), получим требуемое.
Пример. Склеим по общему основанию, лежащему в плоскости π, две правильные 34-угольные пирамиды (рис. справа). Получится 68-гранная бипирамида. Окрасим вершины, лежащие в плоскости π в шахматном порядке. Чёрные вершины слегка поднимем над плоскостью, а белые опустим под неё (рис. в центре). Теперь плоскость π, очевидно, пересекает 68 из 102 рёбер бипирамиды.
б) Приведём пример невыпуклого многогранника со 100 рёбрами, у которого все рёбра, кроме двух, пересекают горизонтальную плоскость π (см. рис.).
в) Предположим, что горизонтальная плоскость π0 пересекает все рёбра многогранника M. Так как π0 пересекает все рёбра, то вершины M делятся на два типа: верхние (выше плоскости π0) и нижние (ниже π0) – верхние расположены над π0, нижние – под ней. Каждое ребро соединяет одну из верхних вершин с одной из нижних.
Будем двигать плоскость π, параллельную π0, сверху вниз и проследим, как меняются при этом сечения многогранника.
Как только плоскость π "натыкается" на вершину A многогранника и опускается чуть ниже неё, она начинает отсекать от M пирамидку (возможно невыпуклую) с вершиной A, боковые рёбра которой идут вдоль рёбер, выходящих из A. С опусканием π пирамидка растёт: боковые рёбра удлиняются, а основание расширяется. Пирамидки, соответствующие разным верхним вершинам не пересекаются между собой выше π0: пересечение двух разных граней содержит нижнюю вершину, а все они – ниже π0. Значит, этот процесс роста пирамидок продолжается и ниже π0, по крайней мере до тех пор, пока мы не наткнёмся на первую нижнюю вершину. Следовательно, площадь сечения M плоскостью π0 больше всех площадей сечений плоскостями выше π0, но меньше сечения некоторой плоскостью, проходящей ниже π0.
Но, повторив эти рассуждения, начав с плоскости ниже многогранника и постепенно поднимая её, мы получим, что площадь сечения M плоскостью π0 больше всех площадей сечений плоскостями, находящимися ниже π0. Противоречие.
Замечания
баллы: 4 + 3 + 2
