Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P1 и P2, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.
Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?
Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?
Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .
У Гриши есть 5000 рублей. В магазине продаются шоколадные зайцы по цене 45 рублей за штуку. Чтобы отнести зайцев домой, Грише придется купить ещё несколько сумок по 30 рублей за штуку. В одну сумку помещается не более 30 шоколадных зайцев. Гриша купил наибольшее возможное количество зайцев и достаточное количество сумок, чтобы донести в них всех зайцев. Сколько денег осталось у Гриши?
а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
|
|
 |
Условие
а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
Решение
а) Сторона квадрата сложена из отрезков длины 3, 4, 5, поэтому её длина a – целое число. Площадь треугольника равна 6, следовательно, число треугольников k = a²/6. Отсюда a чётно, a² делится на 4 и k чётно.
б) Периметр каждого треугольника равен 3 + . Подсчитаем сумму периметров всех треугольников двумя способами. Во-первых, она равна k(3 +
), где k – число треугольников. Во-вторых, каждая сторона треугольника лежит либо на стороне прямоугольника, либо на одном из разрезов. Так как к каждому разрезу треугольники приставлены с двух сторон, то сумма периметров всех треугольников равна периметру прямоугольника плюс удвоенная сумма длин разрезов. Длина каждого разреза и длины сторон прямоугольника имеют вид p + q
, где p и q – целые. Отсюда k(3 +
) = 2m + 2n
(m, n целые). Значит, 3k = 2m и k чётно.
Замечания
баллы: 2 + 4
